要在 Tornado 的 WebSocketHandler 中记录客户端信息，你可以使用实例属性来保存客户端相关的数据。以下是一个示例，演示了如何记录客户端的信息：

import tornado.ioloop
import tornado.web
import tornado.websocket

# WebSocketHandler 类处理 WebSocket 连接
class WebSocketHandler(tornado.websocket.WebSocketHandler):
    connections = set()

    # 当有新的 WebSocket 连接建立时，将连接添加到连接集合中
    def open(self):
        self.connections.add(self)
        self.client_info = {}  # 用于保存客户端信息的字典
        self.client_info['ip'] = self.request.remote_ip
        print(f"New WebSocket connection established from {self.client_info['ip']}")

    # 当收到消息时，将消息发送给所有连接的客户端
    def on_message(self, message):
        print(f"Received message from {self.client_info['ip']}: {message}")
        self.send_message_to_all_clients(message)

    # 当连接关闭时，将连接从连接集合中移除
    def on_close(self):
        self.connections.remove(self)
        print(f"WebSocket connection closed from {self.client_info['ip']}")

    # 将消息发送给所有连接的客户端
    def send_message_to_all_clients(self, message):
        for connection in self.connections:
            connection.write_message(message)

# 创建应用程序并定义 WebSocket 路由
app = tornado.web.Application([
    (r'/websocket', WebSocketHandler),
])

if __name__ == '__main__':
    # 启动应用程序
    app.listen(8888)
    tornado.ioloop.IOLoop.current().start()

在上面的示例中，我们在 open() 方法中添加了一个实例属性 client_info，它是一个字典用于保存客户端信息。在这个示例中，我们将客户端的 IP 地址存储在 client_info 字典中。

当有新的 WebSocket 连接建立时，我们从 self.request.remote_ip 获取客户端的 IP 地址，并将其存储在 client_info 字典中。

在 on_message() 方法中，我们打印出客户端 IP 地址和接收到的消息。

在 on_close() 方法中，我们打印出客户端 IP 地址以及 WebSocket 连接关闭的消息。

通过这种方式，你可以记录客户端的信息，并在需要时使用该信息进行处理或日志记录。

请注意，上面的示例仅记录了客户端的 IP 地址作为示例。你可以根据需要扩展 client_info 字典来保存其他相关的客户端信息，例如用户身份、连接时间等。